“数形结合”在解题中的应用实例

一、例谈“数形结合”在解题中的应用（论文文献综述）

王秋硕^[1]（2021）在《基于波利亚解题思想下的高中三角函数解题策略研究》文中研究说明解题是数学教学的核心,解题教学也一直是国内外专家学者研究的重点问题。三角函数作为高中数学的重点知识模块,在高考中具有举足轻重的地位,学生在解三角函数问题时又往往存在困难。因此,本文将波利亚解题思想与三角函数解题相结合,探索出适用于三角函数问题的相关解题策略,对学生的三角函数解题实践具有指导意义。本文采取文献分析法和案例分析法,以波利亚解题思想为基础,对高中三角函数部分的《课标》、教科书以及相关高考题目进行探析,结合高中生在解决三角函数问题时所产生的障碍,归纳整理出了十条波利亚解题思想下的三函数解题策略如下,理解题目阶段:1.梳理显性条件;2.引入辅助工具;3.挖掘隐性条件。拟定方案阶段:1.寻找问题联系;2.变换问题表征;3.回归问题本身。执行方案阶段:1.细化解题步骤;2.检查每一个步骤。回顾反思阶段:1.优化解题方式;2.建立解题模型。随后,笔者对该三角函数解题策略的实践意义进行研究,利用该解题策略解决三角函数部分的三类典型问题并建立相关的解题模型,让学生体会如何在解题时寻找思路。最后基于波利亚解题思想提出有关三角函数解题教学的八条建议如下,理解题目阶段:1.创设生活情景,激发解题兴趣;2.借助元认知监控,提升审题能力。拟定方案阶段:1.呈现同类问题,理清问题联系;2.活用三角公式,寻找解题思路。执行方案阶段:1.分析步骤意图,体会解题思想;2.规范书写步骤,提高纠错能力。回顾反思阶段:1.重视典型例题,建立解题程序;2.巧用变式教学,培养创新思维。随后基于以上教学建议设计了两节三角函数习题课的教学案例,对其实用性与可行性进行探索。本文不仅仅是波利亚解题思想的一种推广,也对学生的解题实践以及一线教师的解题教学有着重要的指导价值。

荣媛媛^[2]（2021）在《高中生数形结合思想方法的应用现状研究》文中研究说明数形结合思想方法作为高中重要的数学思想方法之一,它对学生学习数学有着十分关键的作用,善用数形结合不仅可以帮助学生开阔思路,从更深层次理解知识,还可以获得解决问题的多种途径。本文在前人研究的基础上,结合课标要求及SOLO分类理论,设计了学生调查问卷、测试卷以及教师访谈,通过对数据的整理分析,笔者发现多数学生将数形结合看成是解题工具,没有上升到思想层面,学生整体对数形结合的应用意识不强,且在课下缺乏总结反思的习惯。在解题应用方面,学生总体在“以数解形”方面的能力比“以形助数”要好。从知识载体上看,学生在集合这一部分的数形结合能力最好,其次是平面向量、不等式和三角函数,再次是立体几何、解析几何、数列,应用最差的是函数。从年级上看,高三学生的数形结合应用水平比高二要好。学生在利用数形结合思想方法解题时,出现的主要问题为:无法转化属性表征、作图不准确、数形转化不等价等。根据学生的数形结合应用现状,笔者认为要想加强学生对数形结合的应用意识和能力,首先教师要更新教学观念,增强渗透数学思想的意识。其次教师就要重视在新授课上的渗透,挖掘教材中可用的数形结合教学素材,只有让学生认识到数形结合在知识内容的诸多方面都有广泛体现,学生才能逐渐将数形结合从解题方法上升为数学思想。第三,教师在教学时要注重数学三种语言的对应与转化,培养学生的数形转化意识。最后,教师要重视学生的作图和识图能力,学生作图能力弱,教师要多一些耐心,对学生出现的问题及时纠正,也要善用信息技术软件辅助教学。

张晗^[3]（2021）在《六年级学生运用数形结合思想解题的现状研究》文中研究指明数形结合思想是一种不可或缺的数学思想,在学生数学学习过程中具有重要的作用。尤其是小学生的抽象思维较弱,借助“数”与“形”的相互结合,能够促进学生对知识的深入理解,帮助学生解决一些较为复杂的问题。近年来,有关数形结合思想的研究内容不断丰富完善,但目前仍然缺乏针对小学生在解题过程中对数形结合思想的运用现状研究。基于此,本研究以“数形结合思想对六年级学生解决问题产生的影响”和“六年级学生在解题过程中对于数形结合思想的运用情况”为核心问题,以已有文献为基础,从数轴、面积模型、线段图以及直角坐标系四个维度来展开相关研究。研究结果表明:（1）学生运用数形结合思想解题与不运用数形结合思想解题二者存在显着性差异,数形结合思想在学生解决问题过程中能够产生积极影响。（2）学生运用数形结合思想解决问题的整体表现一般。（3）在四个维度中,学生对于数轴与直角坐标系的运用情况较好,能够熟练运用;对于线段图的运用处于中等水平;对于面积模型,学生的运用水平较低,整体得分率不高。（4）对于数形转换的正确率与学生解题的正确率之间具有显着性正相关。（5）整体来看,学生主动利用数形结合思想解题的意识较为薄弱。（6）学生解题过程中主要存在的问题包括学生对概念、算理理解不深入,对题意理解有误,解题时画图不完整、不规范以及由于疏忽造成的错误。基于对研究结果的分析,本研究认为,教师在教学过程中要积极帮助学生建立“数”与“形”之间的联系,增强学生主动运用该思想解题的意识;同时培养学生运用数形结合思想解题的能力;注重学生解题过程中作图的规范性问题,充分发挥数形结合思想的价值。

毕亭亭^[4]（2020）在《高中数形结合思想的应用现状和教学策略》文中研究表明恩格斯说:“数学是研究现实生活中数量关系和空间形式的科学”,数学源于对现实世界的抽象,与人类生活和社会发展紧密联系,承载着人类文明重要的思想和文化。数学素养作为现代社会每个人都应具备的基本素养,推动终身学习的进程。数学教育承载着落实立德树人的根本任务、发展素质教育的功能,帮助学生掌握数学知识、技能、思想和方法,在提升学生的数学素养,形成正确的人生观、价值观和世界观方面发挥着重要的作用。数形结合思想作为重要的数学思想之一,贯穿于高中各个模块的知识中,可以有效启发学生思考,帮助学生把握数学内容的本质,提高解决问题的效率,有助于数学素养的形成和发展。《普通高中数学课程标准（2017年版）》在阐述直观想象素养中指出:“通过高中数学课程的学习,学生提升数形结合的能力”,数形结合思想是发展学生直观想象核心素养的重要途径。因此研究高中数形结合思想的应用现状是很有必要的,本人在阅读相关文献资料的基础上,总结出关于数形结合思想的内涵与发展、与解题、教学、信息技术和调查研究方面的文献,提出了理论基础以及数形结合思想的解题原则和解决途径,并利用问卷和访谈法对学生进行调查,从五个维度了解学生对数形结合思想的认识,根据调查研究发现教学中存在的问题,并且针对问题从信息技术、教材、数学文化、解题类型四个方面提出相应的教学策略。

苏海洋^[5]（2020）在《核心素养视域下导数的教学策略研究》文中研究指明导数作为微积分的核心内容之一,是研究函数与不等式,解决实际问题非常有利的工具。一直以来,导数都是高考的重点与热点,也是学生学习的难点。随着核心素养的提出,数学教学除了关注学生的知识技能以外,更注重学生数学思维与能力的发展。因此,从核心素养的视角下研究导数的教学是十分必要的。本文采用文献分析法、调查法与访谈法进行研究。首先对建构主义学习理论、APOS理论、SOLO理论进行简要分析,为后文的调查研究提供了有力的支撑。然后,对核心素养与导数相关文献进行归纳整理。接下来,笔者对导数内容进行了实证调查,通过测试卷、问卷及访谈的形式,主要研究:1、高中生学习导数过程中出现的问题,以及在情感、态度方面的存在的问题;2、一线教师在导数教学中出现的问题;3、针对现存的问题,从发展学生数学核心素养的角度提出教学策略。研究结果表明:客观上,学生对导数各部分内容的理解不均衡,对平均变化率、导数几何意义以及导数在函数中的应用理解较好,而对导数概念、优化问题上的理解水平较低;主观上,学生普遍认为导数很难,但有学好的信心。而教师在导数教学中过于关注学生解题能力的提高,忽视对概念的深入挖掘与思想方法的渗透。针对本次研究结果,基于数学核心素养对学生的要求,笔者提出了如下教学策略:合理设计教学情境,充分经历概念生成的过程;注重数学思想放法的渗透,体会思想方法的价值;教与学并重,促进学生学会学习;有效建立数学模型,培养学生用数学语言表达问题的能力;教学评价要多元化,注重学生数学核心素养的达成。并针对教学策略设计了相应的教学案例,为一线教学的教师提供参考。

徐静怡^[6]（2020）在《初中数学解题教学中的有效追问研究》文中研究说明《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出:教师在设计和组织教学活动时应该兼顾知识技能、数学思考、问题解决、情感态度这四个方面的目标,这四个目标的整体实现对学生的全面、持续、和谐发展有着重要的意义.解题教学是数学教学的重要组成部分,教师在数学解题教学中运用有效的追问可以引导学生主动地运用数学知识分析问题,解决问题,获得成功的经验,体会数学思想方法和数学知识的应用价值.然而,目前的数学解题教学中,追问的运用情况并不理想,学生有疑教师无问、教师有问学生不答、教师自问自答的现象颇为常见.基于此,本文对初中数学解题教学中的有效追问展开了研究.首先,采用文献分析法,对追问、数学解题教学的相关研究成果进行了整理和分析,进而得出本研究具有理论意义和实践价值.其次,采用问卷调查法,对部分初中数学教师和学生进行了调查,发现尽管教师尽量采用追问策略引导学生解决问题,但是追问难以达到预期效果.接着,通过对初中数学解题教学中追问现状的分析与思考,提出了在数学解题教学中进行有效追问应遵循的原则:起始性原则、目的性原则、启发性原则、梯度性原则、恰时性原则、生成性原则.最后,采用案例分析法,依据上述原则优化具体案例,通过优化前后追问效果的比较分析可以看出,上述六项原则可以在一定程度上提高数学解题教学中追问的有效性.

张欣艺^[7]（2020）在《基于数学运算素养提升的圆锥曲线解题教学研究 ——以高三第一轮复习为例》文中认为数学运算素养是新课程标准提出的六大核心素养之一,而圆锥曲线解题教学是培养学生数学运算素养的良好载体.高中生对圆锥曲线综合题的学习掌握情况并不理想.为了使学生更好地掌握圆锥曲线的综合题,本研究以高三第一轮复习为例,探讨圆锥曲线解题教学的策略,提升学生圆锥曲线解题能力,培养学生数学运算素养.本研究主要涉及以下三个方面问题:（1）调查高中圆锥曲线解题教学现状;（2）对全国I卷圆锥曲线近五年的高考试题进行整体分析,总结出基本题型与基本方法;（3）结合相关的教学理论探讨促进数学运算素养提升的圆锥曲线解题教学的策略;复习时提示学生审题从总结出的三类题型来思考,构建解题思路可以从这三类题型的基本方法思考;创造了简化条件法来教授复杂题目,有利于学生化繁为简,找到思路.本研究采用文献研究法、问卷调查法、访谈调查法、案例研究法.通过文献梳理了关于数学运算素养、圆锥曲线解题的研究成果,奠定了教学理论基础.采用问卷调查法与访谈调查法,了解当前对圆锥曲线的解题教学现状.分析了全国I卷圆锥曲线近五年的高考试题,总结出三个基本题型及其基本解题方法:（1）“定义与标准方程”基本题型,解题的基本方法是应用三种不同类型圆锥曲线的定义与标准方程进行求解;（2）“几何量与几何性质”基本题型,基本解题方法是利用图形中的几何关系,列出关键的等式（不等式）;（3）“直线与圆锥曲线相交”基本题型,解题基本方法是联立方程,利用韦达定理得到根与系数的关系,再根据具体问题情境进一步求解.基于教学理论及调查的研究结果提出了高三圆锥曲线解题教学的策略,并以高三第一轮复习为例给出教学案例:（1）激活旧知,明晰基本题型;（2）一题多法,加深基本方法;（3）简化题目,梳理解题思路;（4）变式训练,完善知识结构,提高判定题型的能力和解题灵活性;（5）关注反思,提升思维品质,积累解题经验,培养学生的元认知能力。

罗山^[8]（2020）在《辅助线在初中平面几何解题教学中的应用研究》文中指出辅助线在是突破几何问题的重要工具,是解题的有效途径,恰当的添加辅助线,可以帮助解决几何问题。通过文献研究发现,前人的研究主要是对个别问题的一些探索,大多停留在理论的层面上,实际操作性并不强,有的需要用到高中甚至大学的内容才能理解和掌握,而这些内容对初中学生而言,属于超纲的内容,没有考虑到初中生的学情与认知发展规律,所以这些研究对初中教学的指导意义并不大。因此寻求一个有效的,且符合初中学情的辅助线的教学,对于身在一线初中老师如何有效地教与学生的学,都很有意义。不仅有助于完善辅助线的相关教学理论,也有助于学生掌握数学知识与方法,提高数学学习能力。本文主要采用文献研究法、调查法对初中辅助线的教学现状进行了调查,通过数据分析发现:几何内容多,方法灵活多变,特别是推理论证类的问题,学生不会分析题意,找不到突破口,盲目乱添加辅助线,或者知道一些做辅助线的方法,但并不系统,不能根据题意灵活的选用辅助线来有效地解决问题。造成学生几何学习困难,学习兴趣不高,信心不足。而辅助线的教学这部分内容教材编写得比较简略,因此有的老师不注重辅助线的教学,对辅助线的画法分类缺乏系统的研究,教学过程中对相关辅助线的作法拓展和延伸不够,缺乏归纳总结,因此教学效果并不理想。根据调查发现的问题,本文首先从知识体系的构建上,归纳总结初中数学中常见的几类基本图形添加辅助线的方法。然后在教学策略方面,结合本人“利用旋转法构造辅助线”的案例研究,并通过专题测试卷对学生知识和能力的掌握情况进行了测评,逐步探究初中平面几何中辅助线教学的有效途径。最后对教师的教和学生的学提出了具体的建议:在教学内容和教学方式上,可以适当的借助多媒体技术来呈现几何内容,由浅入深,激发学生的兴趣,并鼓励学生多参与探究学习的过程,积累作图经验,增强学习几何的信心;在课时安排上,建议设置专题进行介绍,重在引导学生分析题意,学会从复杂的图形中识别出基本图形来构造辅助线,同时要加强学法指导,引导学生总结归纳常见辅助线的作法。

赵宏霞^[9]（2020）在《数与形的关系在高中数学解题中的应用》文中进行了进一步梳理数学不仅能够处理空间图形,还能够解决数量关系,它将自然规律以及社会规律揭露出来,具有很强的实用性。学生从小学一直到大学期间都需要学习数学,而且它更是作为一门主要课程在学生的学习中占据着重要地位,也对我们的思维和现实生活有很好的指导作用。尤其学生步入高中后,对于学生学习数学这门课程在各个方面都面临着更多的困难和更大的思维挑战。最近几年,中学数学教学已经开始改革,对中学数学教师提出了挑战,怎么促使学生自主学习,提高教学的质量成为了迫在眉睫的问题。基于解决数学问题与数学思想息息相关,本文根据数形结合的思想,结合在高中数学使用的案例,将数量之间具有的隐性关系通过空间图形展示出来,并且很多图形方面的问题也可以转换成数量进行求解,这两者之间相互贯通,两者发挥各自的优势,从而使复杂的问题简单化,且使问题解决更直观更简洁。本文以《普通高中数学课程标准（实验）》为准则,结合数形结合的思想,并融合最新的研究理论,阐释了高中数学中的数形结合的案例,突出分析了其在教学中所占据的一席之地,展示了其较强的实用性。通过对数形结合的案例分析,得到了数形结合充当的不仅是一种方法,更应作为一种十分重要的数学思想方法在教学中被充分地加以运用,它可以作为知识转化为能力的“桥梁”,拓宽学生的解题思路,提高学生的解题能力,培养学生的逻辑思维。本文主要分成了四个部分,首先介绍的是研究的背景和意义,以及目前此课题在国内外研究的情况并给出了对数形结合思想的定义认识。其次,结合调查研究总结出了数形结合的利用价值。再次,将数形结合和高中数学相结合,主要通过案例的方式展示这种方法的具体应用。最后,主要针对这种数学思想方法提出了一些注意事项,并针对此研究作出了思考也提出了一些建议措施。通常情况下一种思想方法运用到实践中总会产生一些积极的作用。通过本文的研究,数形结合的方法亦如此。在高中教学中,它的作用不仅仅是一种学习的方法,还应该作为一种思想,融入数学。因为它具有一系列的优势,它能将抽象的问题具体化,能够将复杂的问题简单化。总之,若能够将两者有效结合,一定能产生新的火花,教学质量也定会提高,学生的学习能力也会更上一层楼。

肖真真^[10]（2020）在《小学“数与代数”教学中数形结合思想方法渗透研究 ——以部编版二年级为例》文中认为数形结合是将抽象性与形象性结合解决问题的思想方法。研究在小学数学教学中渗透数形结合思想方法意义重大。结合部编版二年级数学教材和二年级学生,对在小学“数与代数”领域中渗透数形结合思想方法进行研究,分析现状及原因,并力图提出有效的教学策略。对部编版二年级教材“数与代数”领域蕴含数形结合思想方法的内容进行分析,通过表格展现单元知识点和数形结合的呈现,从理解整数、建立概念、理解题意、明白算理分析呈现特点。编制运用数形结合思想方法教学现状调查的学生问卷和教师问卷,发放、回收并进行分析,并对教师访谈进行记录和整理。通过问卷和访谈分析得出结论:大部分小学数学教师认识到数形结合思想方法在教学中的意义,并表现出有意运用的倾向;存在了解有限、态度消极、运用过程中欠缺有效策略的问题;小学数学教师自身素养和理论水平有待提高,缺少学习数形结合思想方法的机会和动力,对教材相关内容挖掘不够,是其主要原因。从教师和学校方面进行数形结合思想方法的教学探讨,教师方面加深认识,挖掘内容,增强教学计划性,在不同课型、操作活动、教学评价、趣味数学中渗透数形结合思想方法。学校方面提供技术指导,提高重视程度,激励教师坚持数形结合思想方法教学。

二、例谈“数形结合”在解题中的应用（论文开题报告）

（1）论文研究背景及目的

此处内容要求：

首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。

写法范例：

本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。

（2）本文研究方法

调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。

观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。

实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。

文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。

实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。

定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。

定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。

跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。

功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。

模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。

三、例谈“数形结合”在解题中的应用（论文提纲范文）

（1）基于波利亚解题思想下的高中三角函数解题策略研究（论文提纲范文）

（2）高中生数形结合思想方法的应用现状研究（论文提纲范文）

（3）六年级学生运用数形结合思想解题的现状研究（论文提纲范文）

（4）高中数形结合思想的应用现状和教学策略（论文提纲范文）

（5）核心素养视域下导数的教学策略研究（论文提纲范文）

（6）初中数学解题教学中的有效追问研究（论文提纲范文）

（7）基于数学运算素养提升的圆锥曲线解题教学研究 ——以高三第一轮复习为例（论文提纲范文）

（8）辅助线在初中平面几何解题教学中的应用研究（论文提纲范文）

（9）数与形的关系在高中数学解题中的应用（论文提纲范文）

（10）小学“数与代数”教学中数形结合思想方法渗透研究 ——以部编版二年级为例（论文提纲范文）

四、例谈“数形结合”在解题中的应用（论文参考文献）

• [1]基于波利亚解题思想下的高中三角函数解题策略研究[D]. 王秋硕. 哈尔滨师范大学, 2021(08)
• [2]高中生数形结合思想方法的应用现状研究[D]. 荣媛媛. 哈尔滨师范大学, 2021(08)
• [3]六年级学生运用数形结合思想解题的现状研究[D]. 张晗. 天津师范大学, 2021(11)
• [4]高中数形结合思想的应用现状和教学策略[D]. 毕亭亭. 哈尔滨师范大学, 2020(01)
• [5]核心素养视域下导数的教学策略研究[D]. 苏海洋. 哈尔滨师范大学, 2020(01)
• [6]初中数学解题教学中的有效追问研究[D]. 徐静怡. 福建师范大学, 2020(12)
• [7]基于数学运算素养提升的圆锥曲线解题教学研究 ——以高三第一轮复习为例[D]. 张欣艺. 福建师范大学, 2020(12)
• [8]辅助线在初中平面几何解题教学中的应用研究[D]. 罗山. 西南大学, 2020(01)
• [9]数与形的关系在高中数学解题中的应用[D]. 赵宏霞. 西南大学, 2020(01)
• [10]小学“数与代数”教学中数形结合思想方法渗透研究 ——以部编版二年级为例[D]. 肖真真. 宁夏师范学院, 2020(12)

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