一、几类非线性二元算子方程的迭代解法及其应用（论文文献综述）
张旻[1]（2021）在《几类分数阶偏微分方程快速解法及应用》文中研究说明在科学与工程计算中,有很多大型应用问题需要物理与数学工作者通过构建模型进行数值模拟.通过分析模型,设计数值计算方法,进行快速求解,从而对所研究的现象有更进一步的认识.在很多领域中,偏微分方程（PDE）是最常用的描述问题的数学模型.近年来,由于分数阶微分算子可以精确描述反常扩散过程,成为更精确描述模型的重要工具.相较于整数阶偏微分方程,在模拟记忆效应,扩散运动以及遗传性质等方面运用分数阶偏微分方程更为精确,因此在信号处理,超导,流体力学等方面有广泛应用.与整数阶偏微分方程不同的是,由于分数阶偏微分方程离散后线性系统的系数矩阵非常稠密,造成计算量与内存需求十分庞大,计算时间较长,为深入研究造成了诸多障碍.如何利用数值方法进行离散,并通过对离散系统系数矩阵代数结构的研究,设计高效,快速,稳定的快速算法就成了工程应用实际问题中进行模拟仿真的首要且十分关键的问题.本文主要研究三类分数阶偏微分方程快速求解问题以及两类基于分数阶模型的实际应用.通过构造数值格式,并针对不同问题模型离散得到的线性系统的结构特点,我们采用矩阵分裂迭代法或预处理技术设计一系列高效、经济的快速求解策略,对不同类型分数阶偏微分方程进行数值求解.全文共有七章内容:第一章详细介绍所研究课题的科学背景、研究意义以及研究现状,并简要介绍本文的主要研究内容和创新点.第二章主要研究一维空间分数阶Ginzburg-Landau方程的快速迭代解法.通过有限差分离散,得到具有类Toeplitz结构的复线性系统,并针对系统的结构特征,设计出一类新的矩阵分裂迭代法,并结合循环预处理,实现快速运算.迭代法的收敛性证明了该方法的有效性.数值实验验证了所提出方法的高效性.第三章主要研究二维空间分数阶Ginzburg-Landau方程的快速数值解法.首先,针对方程设计了一种交替方向隐式（ADI）差分格式,将方程离散为两个线性子系统,并设计了一种分别放缩的矩阵分裂迭代法,进行快速求解,并证明其收敛性.数值实验显示所提出方法的经济性与高效性.第四章主要研究二维时间空间分数阶Stokes方程,构造了一种离散线性系统的快速求解方法.我们通过有限差分离散,线性系统系数矩阵包含内嵌BTTB（blockToeplitz-Toeplitz-block）的鞍点结构形式.由于我们可凭借循环逼近和快速傅立叶变换（FFT）求解所涉及的线性子系统,使得这种新的求解方法具有计算优势.理论分析表明,预处理系数矩阵的大多数特征值聚集在1附近,这表明所提出的预处理子可以有效改善系数矩阵的条件数.数值例子证实了所提方法的优越性.第五章主要研究基于二维空间分数阶Cahn-Hilliard方程的图像恢复模型.通过有限差分离散与JFNK（Jacobian-free-Newton-Krylov）迭代,得到的含有不定矩阵与BTTB结构的2×2分块结构的Jacobian矩阵,并构造了一类高效的预处理子.相应预处理系统的特征值聚集在1附近,进一步,通过对BTTB结构进行循环近似,使其能够通过FFT进行快速计算,体现其更加经济高效的特点.最后通过数值实验证实了所提出的快速算法对图像恢复过程的高效性与鲁棒性.第六章主要研究基于欧式期权两资产的时间空间分数阶Black-Scholes定价模型的快速数值解法.首先通过隐式差分法对模型离散,并对得到的线性系统的结构进行研究后,提出了一类时间并行双对角线预处理子.理论分析与实验证明,预处理系统系数矩阵的谱聚集于1附近,能够有效加速Krylov子空间方法对线性系统求解,表明所提出方法的高效性.第七章对全文做概括总结并对未来将要开展的工作进行展望.
刘颖[2]（2021）在《基于随机特征近似的正倒向随机微分方程数值解法研究》文中提出1990年,Pardoux和Peng（彭实戈院士）[49]提出了非线性的倒向随机微分方程（BSDEs）问题,并给出了其在一般形式下的的解的存在惟一性的证明,为后来的正倒向随机微分方程（FBSDEs）理论奠定了坚实的基础.随后,1991年Peng[52]给出了非线性Feynman-Kac公式,建立了 BSDEs和拟线性偏微分方程（PDEs）之间的关系.之后,关于FBSDEs的一系列优秀理论如雨后春笋不断涌现,推动了人类认知的扩大和科学技术的发展.而今,FBSDEs的相关理论成果在金融经济、控制系统、生物、医药、物理、机械工程等领域发挥出举足轻重的作用,对FBSDEs及其相关方程的构造和求解具有十足的必要性和应用价值.但是,通常情况下,FBSDEs的解析解具有较为复杂的求解结构,并且FBSDEs的解的结构的复杂性导致对其高精度的数值解法的研究发展较为缓慢.于是本论文基于这种研究背景,提出了有关求解FBSDEs的高精度的数值算法,即基于随机特征近似的正倒向随机微分方程组的数值解法.本文主要研究基于随机特征近似方法的正倒向随机微分方程（FBSDEs）的数值解法,研究内容主要有:首先,基于正倒向随机微分方程（FBSDEs）的解的特性和外插法,创造性地提出了关于求解FBSDEs的显式微分多步格式,并基于格式稳定性条件下,给出误差估计,对格式的收敛阶进行验证,同时给出运行时间的对比,证实了显式格式较之前的隐式迭代格式,在达到相同精度时,可以花费更少的运行时间,证明了显式格式有更好的计算效率;之后,在显式多步格式的基础上,首创性地提出了随机特征近似的方法,即根据扩散过程的随机特征以及FBSDEs运动的动态机制,采取沿着扩散过程的样本轨道的方向进行选点插值估计的格式,然后用数值实验验证了,较之传统近似方法,使用随机特征近似方法,能达到更高的运算效率,数值结果更准确;然后,在随机特征近似方法之上,又提出了 FBSDEs的随机特征差分格式,根据非线性Feynman-Kac公式,用有限差分格式代替微分格式,缩短了计算过程.数值实验验证了差分格式使得运算效率进一步提升,数值结果相较于未优化前,计算结果更优良.论文的主要贡献及创新本论文的主要贡献及创新点分以下三个方面（1）基于传统的高阶微分多步格式的基础上,用时间层上的Lagrange插值（外插）方法替代掉数值迭代求解格式,提出显式求解FBSDEs的高阶微分多步格式,利用格式的稳定性给出了误差估计,用数值实验验证了新方法与旧方法相比,在达到相同收敛阶的情况下,新方法可以大幅缩短计算时间,更加高效.（2）在显式微分多步格式的基础上,利用扩散过程的特性,提出了基于随机特征近似方法的高阶微分多步格式.这种数值格式能有效地追踪到扩散过程的运动轨道,此方法中,插值点的选取沿着扩散过程的轨道选点,然后进行Lagrange外插得到被插值点的值.数值实验证明插值结果更符合实际情况,能更好地模拟FBSDEs的实际运动情况,有效地提高了计算效率,使计算结果更准确.（3）在随机特征近似格式的基础上,利用Feynman-Kac公式可得Yt与Zt间的关系,用差分方法代替格式中的微分部分,提出了随机特征差分格式.新方法使得涉及空间点的计算时,Yt与Zt的局部空间插值简化为只有Yt插值,而Zt采用差分格式计算.新方法简化了格式计算步骤,并且提高了计算效率,使计算结果更准确高效.论文的框架本论文共有六章.第一章引言简单介绍了 FBSDEs的数值解法的相关研究背景、动机和发展现状,梳理了全文的脉络和大纲.第二章预备知识介绍了有关随机微分方程、正倒向随机微分方程的相关基础知识,并且介绍了求解FBSDEs的微分多步方法,同时,给出了随机特征近似基本理论,这为了后文引出随机特征近似方法做了铺垫.之后,给出有限差分近似的简单介绍,有限差分近似方法可以更加丰富完善FBSDEs数值解法的理论体系.第三章求解FBSDEs的显式多步微分格式本章主要研究求解正倒向随机微分方程的显式多步格式.首先,去除了关于Yt和Zt二重迭代的繁琐,利用Lagrange外插方法,用其余时间层上的值外插到所求时间层上的值,之后我们给出误差阶数的估计,并且用数值算例验证了格式的高效性、高精度性,其结果能大大缩短运算时间,提高运算效率.本章内容来自·Y.Liu,Y.Sun,and W.Zhao,A fully discrete multistep scheme for solving coupled forward backward stochastic differential equations,Adv.Appl.Math.Mech.,12（2020）,pp.643-663.（SCI,Q1）第四章基于随机特征近似的FBSDEs的多步微分格式本章主要研究基于随机特征近似方法的求解正倒向随机微分方程的数值解法.首先,通过扩散过程的随机特征和FBSDEs的运动的动态机制,我们设计格式来追踪扩散过程运动轨道,然后利用这些轨道方向的点来插值得到数值解.之后通过数值算例分四个方案,用四个方案的对比来验证了随机特征近似方法的高精度性和高效性.本章内容来自·Y.Liu,Y.Sun,and W.Zhao,Explicit Multistep Stochastic Characteristic Approximation Methods for Solving Forward Backward Stochastic Differ-ential Equations,Discret.Contin.Dyn.Syst.-Ser.S,doi:10.3934/d-cdss.2021044.（SCI,Q2）第五章随机特征近似方法与传统微分多步法对比对于求解FBSDEs的随机特征近似方法和传统微分多步方法之间的优缺点,本章将主要针对计算效率、精度、收敛速度、运行时间等方面进行归纳,通过图像来实际呈现随机过程实际的运动状态,分析了传统微分多步格式的特点与局限性,更直观地来验证了所提的新的格式的优势.第六章求解FBSDEs的随机特征差分格式本章主要研究了求解正倒向随机微分方程的随机特征差分格式.为了进一步完善数值结果,在随机特征近似方法的基础上,利用差分近似代替微分近似,可以进一步提出随机特征差分格式,新的差分格式的具有更简洁的运算步骤,将而Yt与Zt的局部空间插值格式简化为Yt的插值格式,并且用数值算例验证了新格式能够提高计算效率,得到很好的计算效果.本章内容来自·Y.Liu,Y.Sun,and W.Zhao,Stochastic Characteristic Difference Approx-imation Methods for Solving Forward Backward Stochastic Differential E-quations,Finished.论文的主要结果第三章,主要提出求解正倒向随机微分方程的显式微分多步格式,并验证了格式的高精度高效的特性.我们考虑如下的在带自然域流的完备概率空间（Ω,F,F,P）上的全耦合正倒向随机微分方程（FBSDEs）（?）（0.1）其中,t∈[0,T],T>0 是终端时刻,X0∈F0是初始条件.b:[0,T]×Rd×Rp×Rp×m→Rd是漂移系数;σ:[0,T]×Rd×Rp×Rp×m→Rd×m是扩散系数.ξ=φ（XT）:Rd→Rp是BSDE中的XT的终端函数,f:[0,T]×Rd×Rp×Rp×m→Rp是BSDE的生成函数.对FBSDEs（0.1）,为了得到时间半离散的显式的多步格式,我们需要对时间层进行离散.首先,对于时间间隔[0,T],我们引入均匀的时间剖分0=t0<t1<t2<…<tN=T.定义Δtn,k=tn,k-tn,ΔWn,k=Wtn+k-Wtn,且当t≥tn时,有Δttn,t=t-tn,ΔWtn,t=Wt-Wtn.为了简化问题,将使用统一的时间分割:ti=iΔt（i=0,1,…,N）,此处Δt=T/N.令Xn,Yn和Zn是全耦合FBSDEs（0.1）在时间tn处的真解Xt,Yt和Zt的数值解.在所离散的时间层上,提出求解FBSDEs的显式时间半离散格式,有如下形式:格式0.1.令K=max{k,l},假设YN-i和ZN-i,i=0,…,K-1是已知的.对于 n=N-K,…,0,j=1,…,k,求解 Xn,j,Yn=Yn（Xn）和Zn=Zn（Xn）通过（?）这里Yn+j代表Yn+j在空间点Xn,j的值,YLn=YLn（Xn）和ZLn=ZLn（Xn）被定义为#12这里Lagrange插值基函数为#12之后,为了得到求解FBSDEs（0.1）的显式多步的时间-空间全离散格式,我们需要引入时间-空间上的剖分.对于空间Rd,在每个时间层t-tn,我们引入了空间分区Dhn和参数hn≥0.空间分区Dhn是Rd中离散网格点的集合,即Dhn={xi|xi在Rd}中.在Dhn中定义网格的密度hn（?）（0.2）这里dist（x,Dhn）为从x到Dhn的距离.对每个x ∈ Rd,我们定义一个Dhn的局部子集Dh,xn满足·dist（x,Dh,xn）<dist（x,DhnDh,xn）;·在Dh,xn上的元素数量是有限且一致有界的,那么,存在一个正整数Ne,使得#Dh,xn≤Ne.我们称Dh,xn为x在Dhn上的相邻网格集.对于求解FBSDEs的显式全离散格式,我们有如下形式:格式0.2.令K=max{k,l},假设YN-i和ZN-i,i=0,…,K-1是已知的.对于n=N-K,…,0,j=1,…,k,对于x∈Dhn,求解Xn,j,Yn=Yn（x）以及 Zn=Zn（x）用#12这里YLn=YLn（x）和ZLn=ZLn（x）的定义为（?）插值基函数Ll,n,i（tn）如下:#12格式0.2的创新点在于创造性地使用Lagrange外插方法代替了迭代求解,使得隐格式变为显格式,形式简洁直观;同时,用时间层上的点来插值近似得到所求的时间层上的点,可以使得求解效率大大提升,缩短了运行时间.第四章,主要提出基于随机特征近似的求解正倒向随机微分方程的显式微分多步格式,并验证了所提格式较之旧方法,具有更高的精度.我们得到对于求解全耦合FBSDEs（0.1）的时间半离散数值格式.格式0.3.令K=max{k,l},假设YN-i和ZN-i,i=0,…,K-1,是已知的.那么对于n=N-K,…,0和j=1,…,k,我们求解Xn+j,Xn,j,Yn=Yn（Xn）和 Zn=Zn（Xn）用#12这里Yn+j表示Yn+j在空间点Xn,j上的值,则有#12这里Yn+i=Yn+i（Xn+i）,Zn+i=Zn+i（Xn+i）.同样,我们可以提出下面的求解全耦合FBSDEs（0.1）的时间-空间全离散格式.格式0.4.令K=max{k,l},并且假设YN-i和ZN-i,i=0,…,K-1,是已知的.那么对于n=N-K,…,0,j=1,…,k,x∈Dhn,我们求解Xn+j,Xn,j,Yn=Yn（x）和Zn=Zn（x）用#12这里有#12这里Yn+i=Yn+i（Xn+i）,Zn+i=Zn+i（Xn+i）.格式0.4中,用随机差分近似方法处理了 b,σ和f中的Yt=Y（t,Xt）和Zt=Z（t,Xt）.因为根据扩散过程Xt的性质,当时间点改变时,Xt会有快速而明显的变化,主要是因为漂移项b和波动率σ由时间的增大带来位移的变化.所以针对这种情况,为了提高插值估计的精度,我们选用Xt漂移扩散后的点,即随时间改变的空间点的值,来估计Yt和Zt的值.所以我们首创性地引入随机特征近似的概念,针对扩散过程的随机特征,更高效地求解而得到更高精度的FBSDEs的数值解.注0.1.有关于基于随机特征近似方法的求解FBSDEs的显式微分多步格式,我们在第五章给出了详细的介绍,主要阐述了传统微分多步法的特点和局限性,分析和探究了随机特征近似方法的原理和优势.第六章,主要提出求解正倒向随机微分方程的随机差分近似格式,并验证了格式具有更高的求解效率.对于全耦合FBSDEs（0.1）,提出了随机差分近似法求解全耦合FBSDEs（0.1）的时间半离散数值格式.格式0.5.令K=max{k,l},并且假设YN-i和ZN-i,i=0,…,K-1,是已知的.对于n=N-K,…,0,j=1,…,k,求解Xn,j,Yn=Yn（Xn）和Zn=Zn（Xn）by#12这里Yn+j代表Yn+j在空间点Xn,j,j=1,…,k上的值.这里#12这里Yn+i=Yn+i（Xn+i）,Zn+i=Zn+i（Xn+i）.现在我们考虑随机差分近似法求解FBSDEs（0.1）的时间-空间全离散数值格式.格式0.6.令K=max{k,l},并且假设YN-i和ZN-i,i=0,…,K-1,是已知的.对于 n=N-K,…,0,j=1,…,k,求解Xn,j,Yn=Yn（Xn）和Zn=Zn（Xn）用（?）这里有#12这里Yn+i=Yn+i（Xn+i）,Zn+i=Xn+i（Xn+i）.这一章,基于求解FBSDEs（0.1）的随机差分近似方法,又由非线性Feynman-Kac公式推知Yt和Zt的关系,当采用有限差分近似方法来代替微分近似方法时,也能更好地简化格式,提高运算效率,含差分近似的随机特征方法具有高效性.注0.2.综上所述,本文提出的有关于求解FBSDEs（0.1）的显式多步的随机特征近似方法及其相关理论,具有高度的独创性和实践价值.数值实验证明,随机特征近似方法在正倒向随机微分方程的数值求解理论方面,具备长足的发展前景.基于随机特征近似方法,我们可以进一步地提高各类FBSDEs、BSDEs、PDEs等相关方程的数值求解效率和计算结果精度,这有利于我们在随机计算领域不断深耕细作.
魏可[3]（2021）在《可重构的微分方程通用解算器研究和实现》文中进行了进一步梳理常微分方程的初值问题广泛应用于各领域的事物变化规律和运动现象的描述中。随着对客观世界认知深度和广度的增加,实际工程应用中的微分方程结构日趋复杂化,软件实现方案已经无法满足部分应用对计算量、计算速度和精度有非常严苛的约束。因此研究微分方程的数值解计算问题的硬件设计与实现有着非常重要的实用价值和应用前景。目前,在微分方程初值问题数值解实现技术的前沿研究领域,国内外学者对多倾向于在现场可编程门阵列（Field Programmable Gate Array,FPGA）芯片上,实现经典四阶龙格-库塔算法等数值解算法的求解电路,完成特定算法下的专用微分方程求解。综合考虑微分方程求解实现对通用性、灵活性、高效性的需求,本文设计了一种可重构的微分方程通用解算器。通过将可重构技术引入解算器结构设计中,确保解算器具备针对不同复杂度的微分方程和求解算法能够定制计算路径的能力。所设计的解算器支持对不同复杂度、阶数、变量等条件的微分方程计算结构的在线重构,具备了良好的通用性;同时,可根据应用需求对数值解算法进行选择,可在线调整输入变量初值、变化系数值,具有良好的求解算法,实现灵活性;支持对初始求解条件存在差异的大批量微分方程并发求解,充分发挥了硬件计算资源并行性,体现了极高系统资源利用率。本文在FPGA平台上完成了所设计微分方程同样解算器硬件实现与验证工作,通过几种微分方程实例测试了解算器的通用性、灵活性和高效性。使用不同的数值解法对不同微分方程求解,根据结果数据准确性证明解算器的通用性;使用不同的数值解法对同一微分方程求解,根据不同条件结果准确性、计算执行时间差异证明解算器的灵活性;对不同初值条件下的大批量确定微分方程求解,根据软硬件求解时间加速比证明解算器的高效性。
赵永良[4]（2021）在《时间/时空分数阶偏微分方程求解的快速算法研究》文中认为分数阶微积分至今已在粘弹性力学、系统控制、图像处理和金融工程等诸多领域取得重要应用,但令人遗憾的是只有少数分数阶偏微分方程能够求得解析解。因此,分数阶偏微分方程的数值解法受到许多学者的关注。由于分数阶微分算子的非局部性,分数阶偏微分方程的数值离散系统往往是稠密的,这使得传统解法的求解效率大幅降低。因此,开发出高效、可靠的算法来求解这些离散系统具有重要意义。针对几类分数阶偏微分方程的数值离散系统,本文将挖掘和利用其结构性质来设计高效的快速求解策略,主要内容可概括如下:1.分别对一维和二维的带有时间阻尼项的变系数时间分数阶反应-扩散方程引入有限差分格式,并证明它们的稳定性和收敛性。根据二维离散系统的结构,设计出相应的快速求解算法。数值实验被用于验证所提数值格式和快速算法的有效性。2.由时间分数阶移动/固定对流-扩散方程导出的一次性系统的研究。在时间分数阶移动/固定对流-扩散方程方程的有限差分格式基础上,将所有时间层的数值解排列成一个列向量,这样便会得到一个一次性系统。通过对此系统进行求解,所有时间层的数值解可以同时获得。根据此一次性系统的系数矩阵结构,设计出两种预处理子来加速Krylov子空间方法对它的求解。此外,还对这两种预处理子的一些性质进行讨论。数值实验被用来验证所提快速算法的有效性。3.建立时空分数阶对流-扩散方程的有限差分格式,并证明它的稳定性和收敛性。此外,还将此离散技术推广到求解非线性的时空分数阶对流-扩散方程。通过使用Krylov子空间方法来求解此离散系统,能够快速获取时空分数阶对流-扩散方程的数值解,并且设计出一种循环预处理子来加速Krylov子空间方法的收敛。数值实验结果表明这快速算法比传统的直接解法更加高效。4.关于由时空分数阶扩散方程导出的一次性系统的研究。基于该一次性系统的特殊结构,采用Krylov子空间方法对该系统进行求解,并设计预处理子来加速其收敛。在该预处理子的求逆中,会涉及到Toeplitz矩阵求逆。利用一种Toeplitz矩阵求逆公式来计算此Toeplitz矩阵的逆,并提出一个预处理子对其进行加速。数值实验结果表明所提的快速算法对求解此类一次性系统是十分有效且可靠的。
于哲[5]（2021）在《几类偏微分方程的谱方法研究》文中提出偏微分方程数值解法被广泛应用于各个领域,这得益于计算机技术快速发展和流体力学、图像处理、微观物理等领域急剧增长的应用需求。主要数值算法包括有限差分法、有限元法、有限体积法、谱方法等等。本文利用谱方法求解两类分数阶偏微分方程与一类非线性Dirac方程组,同时给出算法收敛性分析与数值模拟。首先,提出一类具黏性项时空分数阶反应扩散方程,其中黏性项由时间与空间Riemann-Liouville分数阶导数复合项组成,并构建一类时空谱Petrov-Galerkin数值算法。针对于分数阶导数算子是非局部性,利用谱方法这一全局算法的特性求解分数阶偏微分方程更为“相得益彰”。对于分数阶算子奇异性,本文基于具奇异项的广义Jacobi函数构造谱方法数值格式。相比较于采用标准正交多项式逼近问题弱解,利用广义Jacobi函数能够减少因多项式族对奇异项过度逼近而产生冗余的计算量。对于分数阶导数算子为非自共轭算子导致的试探函数与解函数处于不同空间的性质,采用谱Petrov-Galerkin方法,利用不同基函数分别构造解函数与试探函数数值解格式,使得数值算法对解函数与试探函数更加契合。基于构建解函数与试探函数所对应基函数,利用Galerkin方法证明问题弱解存在唯一性,并由新构建的基函数正交性质,给出了此时空谱Petrov-Galerkin方法全局误差分析。数值实验中得到了谱收敛结果,同时基于算法精确性,经由数值解给出黏性项对流体扩散的影响。其次,构造一类时空谱Petrov-Galerkin数值格式分别求解时间分数阶三次与五次Korteweg-de Vrie s-B urger s方程。针对于解在时间方向上奇异性与空间方向光滑性,此算法分别在时间与空间方向上基于广义Jacobi函数与Legendre多项式构造基函数。对于此问题的非线性项,利用谱方法给出等价矩阵形式的数值格式,并由Newton迭代法求解系数矩阵得到数值解。利用基函数正交性质得到数值解在带有特殊权重Sobolev空间下的最佳误差逼近,并得出此谱方法理论收敛阶。数值实验得出算法收敛性与收敛阶,并验证了理论结果。最后,为解决非线性偏微分方程数值格式不稳定或条件稳定性,给出一类非线性Dirac方程组无条件稳定高效快速数值算法。对于一维问题,为避免有界区域逼近无界区域数值误差的产生,本文利用谱方法全局性的优势,基于Hermite函数族在空间无界区域内构建谱Galerkin数值格式。在时间方向上,为得到无条件稳定数值迭代格式,针对于梯度流类型非线性方程引入标量辅助变量法,利用标量消除非线性项带来的问题条件稳定性。为使算法达到二阶收敛,本文在时间方向数值离散过程中采用Crank-Nicolson格式迭代。非线性Dirac方程组具有能量守恒性质,相对于向后差分二阶迭代格式耗散性质,使用Crank-Nicolson格式在保证二阶收敛的同时也保证了离散能量守恒性,更适合数值解描述实际物理过程。误差分析证实此数值算法达到二阶收敛并具有无条件稳定性,在数值算例中验证空间方向上理论谱收敛阶与时间方向上收敛阶,并给出波二元碰撞与三元碰撞的数值模拟。同时,此数值算法可应用于二维非线性Dirac方程组,得到时间方向二阶收敛与空间方向谱收敛的性质。
张维红[6]（2020）在《复对称问题、线性互补问题和线性离散不适定问题的四种数值解法研究》文中提出本文主要针对三类大型稀疏线性系统的数值求解问题展开研究,这三类线性系统分别是复对称线性方程组、线性互补问题以及线性离散不适定问题.对这些问题构造快速高效的数值求解方法具有重要的理论价值和实际意义.第二章中对于一类常见的复对称线性方程组,我们将极小残量技术与修正的Hermitian和反Hermitian分裂（MHSS）迭代方法相结合,提出了一种求解上述复对称线性方程组的新的迭代格式,将其称为极小残量的MHSS（MRMHSS）迭代方法.与经典的MHSS迭代方法相比,MRMHSS迭代格式中多了两个迭代参数,但是它们的值可在迭代过程中方便地确定下来.然后,我们详细分析了MRMHSS迭代方法的理论性质.最后,通过四个实际应用中常见的数值算例并通过与几类现有方法进行比较验证了MRMHSS迭代方法的可行性和可靠性.第三章中对于一类大型稀疏且具有非对称正定系数矩阵的线性互补问题,我们将该问题转换为与之等价的隐式不动点方程组,然后给出一种高效的模系矩阵分裂迭代方法,称之为MINPS方法.该方法由内外迭代组成,其中,外迭代借助于模迭代格式,内迭代采用非精确计算方式对每步外迭代中的模迭代方程组实行预处理矩阵分裂迭代技巧.详细地分析了算法的收敛性质,亦通过数值例子比较了MINPS与已有迭代方法,获得了所论算法求解线性互补问题的有效性和可行性.对于科学计算和工程应用中广泛存在的线性离散不适定问题,LSQR是解决这类问题非常有效的方法之一,它具有存储量小、数值稳定性好等优点.但是,考虑到LSQR的迭代解具有半收敛性,即如果迭代步数太少那么迭代解不足以包含问题的解的足够信息,而迭代步数太多将导致迭代解积累大量的误差,所以如何及时地停止LSQR迭代过程显得至关重要.在第四章中,我们通过提出一种简单有效的停止准则进一步研究了LSQR迭代方法,具体来说,就是利用LSQR方法和Craig方法所得迭代解的残差来判定LSQR的正则参数.大量数值结果表明该方法能够很好地解决测量数据中噪音水平未知的实际问题.第五章中我们再次考虑了上述线性离散不适定问题,它的解对数据的扰动非常敏感,通常使用正则化方法来降低解的这种敏感性.基于Donatelli和Hanke（2013）提出的迭代Tikhonov正则化方法（AIT）,该方法中用一个易于运算的近似矩阵来近似原矩阵,从而能够减小计算量并对一些实际问题有很好的效果.但是,AIT方法的收敛条件在实际应用中很难满足且对数据扰动较为敏感,为此,我们提出了一种更加稳定的迭代方法来求解线性离散不适定问题,将该方法称为MAIT.文中对该方法的理论性质和收敛情况做了细致的分析.通过数值实验还发现,MAIT方法比AIT方法的适用范围更广泛,特别当测量数据中误差水平较低时,AIT会失效,但MAIT方法仍然可以有效地求解这类问题.
乔英[7]（2020）在《梯级水库群多目标优化调度研究》文中研究指明我国是水资源相对缺乏的国度,据统计,人均拥有水资源量仅有2100立方米,只有全球人均水平的28%。另一方面,我国的水资源分布十分不均衡,在北方广大地区普遍缺水严重。随着经济和社会的发展,人们对水资源的需求量不断提出更高要求。鉴于此,如何对水资源进行优化调度,实现水资源的充分利用,是经理管理中的重大研究课题。水资源调度问题必须兼顾不同区域的经济运行、环境保护、人民生活等问题。由于这种调度问题考虑的因素越来越多,所以智能优化算法成为解决此类调度问题最为流行的新兴技术手段,并不断得到深入细致的研究和更广泛的应用。构建科学合理的水资源联合调度方法,对于提高水能资源的利用效率,充分发挥水资源在经济社会发展与节能减排中的优势,具有非常重要的意义。本文以梯级水库群调度运行现状为背景,结合水资源优化配置理论和效益均衡多目标优化方法,深入研究了梯级水库群优化运行建模理论,以及模型求解算法,提出的研究思路和方法可以对提高梯级水库群水资源利用率、为流域用水的水质水量提供理论支撑。论文的主要内容和创新性成果如下:（1）基于梯级水库群多目标粒子群算法的构建。针对粒子群算法在解决多目标、多约束、多阶段等复杂非线性问题中存在的算法收敛性速度慢、容易陷入局部最优、求解时间长等问题,对其惯性权重进行改进,实现全局和局部搜索能力间的均衡,改进了多目标粒子群优化算法（MQPSO）。并利用国际常用的ZDT、DTLZ系列函数,从稳定性、收敛效果、计算速度和求解结果等方面对改进的算法进行合理性与可行性检验。再针对电力经济调度中多目标优化算法的建模及其应用的例子,证明MQPSO算法可有效的对经济调度问题进行优化,为智能算法在解决生产生活中的实际问题提供了重要参考。（2）考虑水量的梯级水库群多目标优化调度研究,对水库群进行了联合优化调度测算,确定了水库群优化供水方案。为了验证多目标优化算法的有效性及实用性,按实际调度规则对洪汝河流域水库群进行了实证模拟,并用提出的MQPSO算法进行了求解。案例结果表明与实际调度规则相比,自适应算法、改进算子的算法和改进的分步算法的总供水量在模拟的基础上都有所提高,表明了在库群联合运行调度中不同优化算法的供水方案在模拟方案的基础上都有一定的改善,为水库群优化调度问题的求解开辟了一条新途径。（3）考虑水质的梯级水库群优化调度研究。考虑梯级水库群生态环境需水要求和水量水质因素,利用Copula函数将变量联合累积分布函数和变量边缘累积分布函数连接起来,建立面源排放量模型、点源排放容量模型,以洪汝河水库群为例,根据洪汝河流域相关资料,根据洪汝河流域相关资料,以化学需氧量（COD）表征水量水质调度污染指标,在洪汝河流域各个控制断面的水质为Ⅲ类作为目标值,得到洪汝河流域水量水质联合调度方案。用提出的MQPSO算法对其进行了系统研究,提高了水质的达标率,充分发挥了水资源的潜在功效,为流域水环境的改善奠定基础。（4）考虑丰水期发电的梯级水库群优化调度研究。针对流域性水库群水电站水库调度图的应用效果不佳的问题,提出了一种考虑流域性水库群水电站年内不同时期出力差异性的分期调度图,并用提出的MQPSO进行求解。该方法能够明确划分水库群的水文年,丰水期和枯水期。初步实证研究表明:提出的分期调度图要明显优于常规调度图,并且能够有效发挥洪汝河流域水电站的效益空间,为水库群的优化调度管理及规划给出了新的思路。本文就梯级水库群的多目标调度问题进行了研究,结合提出的MQPSO算法,分别对考虑水量的梯级水库群多目标优化调度、考虑水质的梯级水库群多目标优化调度研究和考虑丰水期发电的梯级水库群多目标优化调度进行了研究,并对其模型及算法进行了洪汝河流域梯级水库群的实证模拟,有效的证明了算法和模型的适应性和灵活性。推进了梯级水库群的优化调度的技术水平,为实践中的优化调度问题提供了新的有效的理论与方法。
李成梁[8]（2020）在《具有特殊块结构线性系统的数值算法研究》文中进行了进一步梳理在科学和工程的许多重要领域中,如数字图像处理、计算流体力学、结构动力学、油藏模拟、电磁学问题和约束优化问题等,经过适当的数值离散都会得到一系列具有不同块结构的大规模稀疏线性系统.而快速高效地求解这类线性方程组已成为科学与工程领域的核心问题之一,具有非常重要的理论意义和实用价值.本文旨在研究几类具有特殊块结构的大型稀疏线性系统:鞍点问题、复线性系统和块2×2线性系统,利用系数矩阵的块结构或性质,构造了一系列有效的迭代方法和预处理子.主要成果如下:针对非奇异鞍点问题,研究了两类有效的变形迭代法及预处理子.首先在实数域上设计了一类加速的SSOR（ASSOR）迭代法,分析了该方法在一定条件下是收敛的,数值实验说明了该方法是有效的.然后在复数域上提出了一类Uzawa-正定和半正定分裂（Uzawa-PPS）迭代法及预处理子,分析所提方法的收敛性和预处理矩阵的谱性质,数值实验验证了Uzawa-PPS迭代法及预处理子的可行性和有效性.针对非奇异复线性系统,研究了三类有效的Euler外推迭代法及预处理子.首先在系数块矩阵为对称半正定时提出了一类Euler外推Hermitian和反Hermitian（EHS）迭代法及预处理子,给出了E-HS方法的收敛性条件和最优迭代参数,并得到了预处理矩阵的特征值分布.其次在相同假设条件下设计了一类正则化的Euler外推HS（RE-HS）迭代法及预处理子,并分析了RE-HS方法的收敛性和预处理矩阵的谱性质.最后在系数块矩阵为正定时构造了一类交替的Euler外推HS（AE-HS）迭代法及预处理子,证明了AE-HS方法是无条件收敛的.同时,相应的数值实验说明了这三类Euler外推迭代法及预处理子的可行性和有效性.针对奇异复对称线性系统,研究了两类有效的单步迭代法及预处理子.首先考虑参数化单步的HSS（P-SHSS）迭代法及预处理子,分析了该方法的半收敛性和拟最优迭代参数,并讨论了预处理矩阵的谱性质.然后考虑所提出的RE-HS迭代法及预处理子,得到了RE-HS方法的半收敛性条件和预处理矩阵的谱性质.同时,数值实验结果表明了这两类单步迭代法及预处理子是可行的和有效的.针对非奇异块2×2线性系统,研究了三类有效的Givens外推迭代法及预处理子.首先在系数块矩阵为对称半正定时构造了一系列Givens外推块分裂迭代法及预处理子,分析了所提方法的收敛性和最优迭代参数,并讨论了预处理矩阵的特征分布.其次在系数块矩阵满足一定条件时设计了非精确的Givens外推块分裂预处理子,讨论了预处理矩阵的谱性质.最后提出了一类Givens外推SSOR（G-SSOR）迭代法,分析得到了G-SSOR方法的收敛性条件和最优迭代参数.同时,数值实验验证了这三类Givens外推迭代法及预处理子的可行性和有效性.
房亮[9]（2020）在《关于几类非线性矩阵方程正定解的研究》文中指出近年来,人们发现在统计学、排队论、控制理论、网络优化等领域中,许多问题最终都可以归结为求一类特殊的对称非线性矩阵方程X±A*X-nA=Q（n=1,2）的正定解.对此类矩阵方程解的研究引起了学者们的广泛关注.随着研究的深入,对此类非线性矩阵方程的研究也逐渐被推广到诸多更为广泛的形式.本文研究三类推广型的对称非线性矩阵方程:X±A*X-1A=Q、Xs±A*X-tA=Q（s,t为自然数）、X±A*X-qA=Q（q>0为任意正实数）、X±∑mi=1A*iX-qAi=Q、X+∑mi=1lA*iX-qAi-∑nj=1B*jX-rBj=Q（0<q,r≤1）,主要讨论其可解性、数值求解算法及正定解的扰动分析等方面内容.1.讨论非线性矩阵方程X-A*X-1A=Q的正定解,其中Q为Hermite正定阵,A*表示矩阵A的共轭转置矩阵,X表示X的共轭矩阵.证明了该方程总有唯一正定解,且若系数矩阵A非奇异,该方程还有唯一负定解.基于Sherman-Morrison-Woodbury公式,得到方程X-A*X-1A=I的唯一正定解和非线性矩阵方程y+B*Y-1B=P（其中B,P由矩阵A唯一确定）的极大正定解之间的一种良好关系,从而给出了计算X-A*X-1A=I的唯一正定解的几个高效算法,如无逆不动点迭代算法、保结构加倍算法、牛顿迭代法等.同时还研究了非线性矩阵方程X-A*X-1A=I与Y+B*Y-1B=Q的正定解的关系,并对减号方程X-A*X-lA=I的唯一正定解,给出几个新的迭代算法.最后通过数值例子验证和比较了所给算法的有效性.2.讨论方程X±∑mi=1A*iX-qAi=Q的正定解（A1,A2,…,A,n为n×n非奇异复矩阵,Q为Hermite正定阵,0<q≤1,m为自然数）.当q=1时,已有文献证明减号方程X-∑mi=1A*iX-1Ai=Q必有唯一正定解,本文讨论其唯一正定解的扰动问题,借助于Schauder不动点定理,给出两个易于计算的扰动上界,并进一步得到其Rice条件数的显式表达式.对加号方程X+∑mi=1A*iX-qAi=Q（0<q≤1）,讨论其正定解存在的条件及区间,证明了若该矩阵方程存在正定解,则必有极大正定解,并给出极大正定解的迭代算法.同时讨论了极大正定解的扰动问题,给出扰动上界及Rice条件数的显式表达式.最后,通过数值例子对所给算法和扰动估计式进行了验证.3.讨论方程X+∑mi=1A*iX-qAi-∑nj=11B*jX-rBj=Q的正定解,其中m,n≥1为自然数,0<q,r≤1,Ai,Bj（i=1,2,…,m,j=1,2,..,n）为n×n复矩阵,Q 为Hermite正定矩阵.分别在q=r=1和0<q,r<1两种情形下,利用Bhaskar-Lakshmikantham不动点定理得到该方程存在唯一正定解的条件,给出计算唯一正定解的迭代算法,并进一步分别讨论了这两种情形下正定解的扰动问题.
谢晓波[10]（2020）在《几类随机微分方程与偏微分方程数值解法研究》文中研究说明本文主要对几类随机微分方程与偏微分方程数值解展开研究,讨论收敛性,并进行数值实验.Euler方法是求解随机微分方程数值解的重要方法,在该方法的基础上构造出新的数值求解方法,即改进的Euler方法,且对其用于求解随机微分方程的收敛性进行了研究.针对自治标量随机微分方程,得到改进的Euler方法在均值意义上、均方意义上的局部收敛阶分别为2和1,均方强收敛阶为1.该方法中,引入了参数、,对参数进行适当选取后,数值解与解析解将更加接近.最后,通过数值算例证明该方法比梯形Euler-Maruyama方法得到的数值解更为逼近解析解.正则长波方程、KdV方程在应用科学的较多领域中都起着重大作用,并且已有多种数值方法求解了这几类方程.为获得更高的数值精度,在本文中引进了重心插值配点法,用于求解该类方程.为更好求解方程,得到更高收敛精度,更快的运行速度,更少的迭代次数,将分别应用直接线性化与Newton-Raphson迭代进行计算.本文提出了求解耦合KdV方程的重心插值直接线性化迭代法.为了使数值解更为精确,我们引入了求解耦合KdV方程与广义Hirota-Satsuma耦合KdV方程的新方法并研究了其收敛性.数值算例中讨论了不同的参数和精确解.通过与前人工作比较,证明了该方法的准确性和有效性.数值实验表明,该方法简便、快速、准确.
二、几类非线性二元算子方程的迭代解法及其应用（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、几类非线性二元算子方程的迭代解法及其应用（论文提纲范文）
（1）几类分数阶偏微分方程快速解法及应用（论文提纲范文）
| 摘要 |
| abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 课题的研究背景及意义 |
| 1.1.1 分数阶微积分发展历史与现状 |
| 1.1.2 分数阶微积分算子的定义与性质 |
| 1.1.3 分数阶偏微分方程数值方法的发展现状 |
| 1.1.4 分数阶偏微分方程快速算法的发展现状 |
| 1.2 本文的主要研究内容 |
| 1.3 本文的研究方法与创新点 |
| 1.4 本文的结构安排 |
| 第二章 一维空间分数阶Ginzburg–Landau方程的快速解法 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 模型离散 |
| 2.3 新型分裂迭代法及收敛性分析 |
| 2.4 数值实验 |
| 2.5 本章小结 |
| 第三章 二维空间分数阶Ginzburg–Landau方程的快速解法 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 二维空间分数阶非线性Ginzburg-Landau方程的离散 |
| 3.3 复缩放分裂迭代法与收敛性分析 |
| 3.4 数值实验 |
| 3.5 本章小结 |
| 第四章 二维时空分数阶Stokes方程的快速预处理迭代方法 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 时空分数阶Stokes方程的离散化线性系统 |
| 4.3 离散线性系统的预处理策略 |
| 4.4 数值实验 |
| 4.5 结论 |
| 第五章 基于修正的空间分数阶Cahn-Hilliard方程的图像恢复 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 空间分数阶修正Cahn-Hilliard方程的模型离散 |
| 5.3 线性化系统的求解方法和预处理策略 |
| 5.3.1 线性系统的近似逆预处理子 |
| 5.3.2 预处理迭代法的谱性质分析 |
| 5.4 数值实验 |
| 5.4.1 Lena与Hill的修复 |
| 5.4.2 与其他修复方法做对比 |
| 5.5 本章小结 |
| 第六章 基于欧式期权两资产的二维时空分数阶Black-Scholes方程快速算法 |
| 6.1 引言 |
| 6.2 二维时间空间分数Black-Scholes方程 (TDTSBSE) 的离散 |
| 6.2.1 隐式差分格式 |
| 6.2.2 离散线性系统的矩阵形式 |
| 6.3 预处理子和收敛性分析 |
| 6.3.1 预处理子的构造 |
| 6.3.2 具体实现 |
| 6.3.3 预处理迭代法的收敛性分析 |
| 6.4 数值试验 |
| 6.5 本章小结 |
| 第七章 总结与展望 |
| 7.1 总结 |
| 7.2 展望及未来工作 |
| 参考文献 |
| 在学期间的研究成果 |
| 致谢 |
（2）基于随机特征近似的正倒向随机微分方程数值解法研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 符号说明 |
| 第一章 引言 |
| 第二章 预备知识 |
| §2.1 随机微分方程 |
| §2.2 正倒向随机微分方程 |
| §2.3 FBSDEs的微分多步数值格式 |
| §2.3.1 扩散过程生成元 |
| §2.3.2 微分近似 |
| §2.3.3 全离散格式 |
| §2.4 随机特征近似相关知识 |
| §2.4.1 Lagrange插值法 |
| §2.4.2 Lebesgue控制收敛定理 |
| §2.5 有限差分近似 |
| §2.5.1 微分方程的有限差分近似 |
| §2.5.2 有限差分法 |
| 第三章 求解FBSDEs的显式微分多步格式 |
| §3.1 参考方程及时间半离散格式 |
| §3.1.1 参考方程 |
| §3.1.2 参考方程的离散化 |
| §3.1.3 时间半离散格式 |
| §3.2 时间-空间全离散微分格式 |
| §3.2.1 时间-空间剖分 |
| §3.2.2 条件数学期望的Gauss-Hermite积分法 |
| §3.2.3 耦合FBSDEs的全离散显式格式 |
| §3.3 数值实验 |
| §3.3.1 非耦合FBSDEs |
| §3.3.2 耦合FBSDEs |
| 第四章 基于随机特征近似的FBSDEs的微分多步格式 |
| §4.1 参考方程及时间半离散格式 |
| §4.1.1 参考方程 |
| §4.1.2 时间半离散格式 |
| §4.2 时间-空间全离散格式 |
| §4.2.1 条件数学期望的Gauss-Hermite积分法 |
| §4.2.2 基于随机特征近似的FBSDEs全离散格式 |
| §4.3 数值实验 |
| §4.3.1 非耦合FBSDEs |
| §4.3.2 耦合FBSDEs |
| 第五章 随机特征近似方法与传统微分多步法对比 |
| §5.1 传统微分多步格式的特点与局限性 |
| §5.2 随机特征近似方法的原理和优势 |
| §5.2.1 第一步: 引入外插法 |
| §5.2.2 第二步: 根据扩散过程特性追踪X_t的路径 |
| 第六章 求解FBSDEs的随机特征差分格式 |
| §6.1 参考方程及时间半离散格式 |
| §6.1.1 参考方程 |
| §6.1.2 时间半离散格式 |
| §6.2 时间-空间全离散格式 |
| §6.2.1 条件数学期望的Gauss-Hermite积分法 |
| §6.2.2 时间-空间全离散格式 |
| §6.3 数值实验 |
| §6.3.1 非耦合FBSDEs |
| §6.3.2 耦合FBSDEs |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读博士学位期间发表的论文及获奖情况 |
| 学位论文评阅及答辩情况表 |
（3）可重构的微分方程通用解算器研究和实现（论文提纲范文）
| 致谢 |
| 摘要 |
| abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景 |
| 1.1.1 常微分方程及其初值问题 |
| 1.1.2 常微分方程初值问题的工程应用意义 |
| 1.2 研究现状 |
| 1.3 研究目的和意义 |
| 1.4 论文主要研究内容和组织结构 |
| 1.5 课题来源 |
| 第二章 微分方程数值解法研究和分析 |
| 2.1 单步法 |
| 2.1.1 Euler方法 |
| 2.1.2 Runge-Kutta算法 |
| 2.1.3 单步法研究与分析 |
| 2.2 多步法 |
| 2.2.1 Adams算法 |
| 2.2.2 多步法研究与分析 |
| 2.3 数值解法实现分析与总结 |
| 2.4 常微分方程组与高阶常微分方程的数值解问题 |
| 2.4.1 常微分方程组的数值解问题 |
| 2.4.2 高阶微分方程组的数值解问题 |
| 2.5 本章小结 |
| 第三章 通用可重构微分方程数值解运算器设计 |
| 3.1 可重构阵列研究 |
| 3.1.1 关键计算模块分析 |
| 3.1.2 可重构技术 |
| 3.2 可重构阵列设计 |
| 3.2.1 可重构阵列结构设计 |
| 3.2.2 PE结构设计 |
| 3.2.3 PE互连设计 |
| 3.2.4 算法映射 |
| 3.2.5 配置机制设计 |
| 3.3 可重构的微分方程通用数值解运算器设计方案 |
| 3.4 本章小结 |
| 第四章 可重构的微分方程通用解算器设计实现 |
| 4.1 结构可变的微分方程通用数值解运算器设计 |
| 4.1.1 微分方程通用数值解运算器设计相关问题分析 |
| 4.1.2 改进的微分方程通用数值解运算器结构 |
| 4.1.3 结构可变的微分方程通用数值解运算器功能 |
| 4.1.4 结构可变的微分方程通用数值解运算器特点 |
| 4.2 微分方程通用解算器的实现架构及工作流程 |
| 4.2.1 微分方程通用解算器架构 |
| 4.2.2 微分方程通用解算器工作流程 |
| 4.2.3 控制单元工作流程 |
| 4.3 本章小结 |
| 第五章 功能验证及性能分析 |
| 5.1 验证环境 |
| 5.2 微分方程实验实例 |
| 5.2.1 微分方程映射实例 |
| 5.2.2 方程实例实现情况 |
| 5.3 功能测试实验 |
| 5.4 灵活性测试实验 |
| 5.5 高效性测试实验 |
| 5.6 本章小结 |
| 第六章 总结与展望 |
| 6.1 总结 |
| 6.2 展望 |
| 参考文献 |
| 攻读硕士学位期间的学术活动及成果情况 |
（4）时间/时空分数阶偏微分方程求解的快速算法研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 时间和时空分数阶偏微分方程数值方法的研究现状 |
| 1.1.1 时间分数阶偏微分方程的研究现状 |
| 1.1.2 时空分数阶偏微分方程的研究现状 |
| 1.2 本文研究动机与主要内容 |
| 第二章 带有时间阻尼项的变系数时间分数阶反应-扩散方程的二阶隐式差分格式 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 方程(2-1)的一种隐式差分格式 |
| 2.2.1 二阶差分格式 |
| 2.2.2 稳定性分析与误差估计 |
| 2.3 方程(2-1)的二维情形 |
| 2.3.1 方程(2-1)的一个隐式差分格式 |
| 2.3.2 数值离散格式(2-11)的稳定性和收敛性分析 |
| 2.4 数值实验 |
| 2.4.1 一维问题 |
| 2.4.2 二维问题 |
| 2.4.3 预处理迭代法求解(2-11) |
| 2.5 本章小结 |
| 第三章 时间分数阶移动/固定对流-扩散方程导出的一次性系统的预处理迭代算法研究 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 有限差分离散和一次性系统 |
| 3.2.1 时间步进格式 |
| 3.2.2 一次性系统 |
| 3.3 两个预处理子 |
| 3.3.1 块二对角预处理子 |
| 3.3.2 块阶梯预处理子 |
| 3.4 数值实验 |
| 3.5 本章小结 |
| 第四章 时空分数阶对流-扩散方程的一种快速二阶隐式差分逼近 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 时空分数阶对流-扩散方程的一个隐式差分格式 |
| 4.2.1 时空分数阶对流-扩散方程的数值离散 |
| 4.2.2 隐式差分格式的稳定性和收敛性分析 |
| 4.2.3 非线性时空分数阶对流-扩散方程 |
| 4.3 离散系统的循环预处理子 |
| 4.4 数值实验 |
| 4.4.1 收敛阶的验证 |
| 4.4.2 快速算法实验 |
| 4.5 本章小结 |
| 第五章 时空分数扩散方程导出的块下三角Toeplitz系统的快速求解策略 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 有限差分离散及块下三角Toeplitz系统 |
| 5.2.1 时间步进格式 |
| 5.2.2 块下三角Toeplitz系统 |
| 5.3 两个预处理子以及谱分析 |
| 5.3.1 块二对角Toeplitz预处理子 |
| 5.3.2 斜循环预处理子 |
| 5.4 数值实验 |
| 5.5 本章小结 |
| 第六章 总结与展望 |
| 6.1 全文工作的总结 |
| 6.2 研究展望 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 附录A 第二章的补充实验 |
| 附录B 第四章的补充实验 |
| 附录C 第四章的PGPBi COR(3,1)算法 |
| 攻读博士学位期间取得的成果 |
（5）几类偏微分方程的谱方法研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 课题背景及研究意义 |
| 1.2 偏微分方程数值方法的研究现状和分析 |
| 1.2.1 分数阶偏微分方程 |
| 1.2.2 非线性Dirac方程组 |
| 1.3 本文主要研究内容 |
| 第2章 一类具黏性项线性分数阶反应扩散方程的时空谱方法 |
| 2.1 预备知识及弱解格式 |
| 2.1.1 预备知识 |
| 2.1.2 弱解存在唯一性 |
| 2.2 时空谱Petrov–Galerkin方法 |
| 2.2.1 主要算法 |
| 2.2.2 误差分析 |
| 2.3 数值结果 |
| 2.3.1 L~2范数误差估计 |
| 2.3.2 H~k范数误差估计 |
| 2.3.3 黏性项数值模拟 |
| 2.4 存在唯一性证明 |
| 2.5 本章小结 |
| 第3章 两类时间分数阶Korteweg–de Vries–Burgers方程的时空谱方法 |
| 3.1 预备知识 |
| 3.2 时间分数阶三次Kd V–Burgers方程的谱方法 |
| 3.2.1 时空谱Petrov–Galerkin方法 |
| 3.2.2 误差分析 |
| 3.3 时间分数阶五次Kd V–Burgers方程的谱方法 |
| 3.3.1 时空谱Petrov–Galerkin方法 |
| 3.3.2 误差分析 |
| 3.4 数值结果 |
| 3.4.1 时间分数阶三次Kd V–Burgers问题 |
| 3.4.2 时间分数阶五次Kd V–Burgers问题 |
| 3.5 本章小结 |
| 第4章 一类非线性Dirac方程组的能量守恒谱方法 |
| 4.1 问题及能量守恒性 |
| 4.2 SAV/CN方法 |
| 4.3 Hermite谱Galerkin方法 |
| 4.4 误差分析 |
| 4.4.1 Hermite谱Galerkin方法 |
| 4.4.2 SAV/CN–Hermite谱Galerkin方法 |
| 4.5 二维Dirac问题 |
| 4.6 数值结果 |
| 4.6.1 一维非线性Dirac方程组误差 |
| 4.6.2 驻波解误差及收敛阶 |
| 4.6.3 二维非线性Dirac方程组误差 |
| 4.7 本章小结 |
| 结论 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间发表的论文及其他成果 |
| 致谢 |
| 个人简历 |
（6）复对称问题、线性互补问题和线性离散不适定问题的四种数值解法研究（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 复对称问题的应用背景及研究现状 |
| 1.2 线性互补问题的应用背景及研究现状 |
| 1.3 线性离散不适定问题的应用背景及研究现状 |
| 1.4 本文的研究工作与结构安排 |
| 第二章 复对称线性系统的MRMHSS迭代方法 |
| 2.1 MRMHSS迭代方法的提出 |
| 2.2 MRMHSS方法的性质及收敛理论 |
| 2.3 数值结果 |
| 2.4 本章小结 |
| 第三章 求解线性互补问题的MINPS迭代方法 |
| 3.1 MINPS迭代方法的提出 |
| 3.2 MINPS方法的收敛性分析 |
| 3.3 数值结果 |
| 3.4 本章小结 |
| 第四章 新型停机准则下的LSQR迭代方法 |
| 4.1 新型停机准则 |
| 4.2 数值算例 |
| 4.3 本章小结 |
| 第五章 线性离散不适定问题的MAIT迭代方法 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 AIT方法 |
| 5.3 MAIT方法 |
| 5.4 数值实验 |
| 5.4.1 参数β的一种非定常选取办法 |
| 5.5 本章小结 |
| 第六章 总结与展望 |
| 6.1 全文总结 |
| 6.2 未来工作的展望 |
| 参考文献 |
| 在读期间的科研成果 |
| 致谢 |
（7）梯级水库群多目标优化调度研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 研究背景 |
| 1.2 研究目的及意义 |
| 1.3 国内外研究现状 |
| 1.3.1 国外研究现状 |
| 1.3.2 国内研究现状 |
| 1.3.3 研究述评 |
| 1.4 主要研究内容及技术路线 |
| 1.5 主要研究结论及创新点 |
| 第2章 梯级水库群多目标优化调度及相关基础理论 |
| 2.1 梯级水库群多目标优化调度概述 |
| 2.1.1 梯级水库群 |
| 2.1.2 梯级水库群多目标内涵 |
| 2.1.3 梯级水库群多目标优化调度及其原则 |
| 2.2 梯级水库群多目标优化调度理论与方法 |
| 2.2.1 多目标优化调度方法 |
| 2.2.2 多目标优化技术 |
| 2.2.3 多目标进化算法 |
| 2.3 小结 |
| 第3章 梯级水库群多目标优化系统及影响因素分析 |
| 3.1 梯级水库群多目标优化调度系统 |
| 3.1.1 系统特征 |
| 3.1.2 系统分类 |
| 3.2 梯级水库群多目标优化调度影响因素 |
| 3.2.1 地域自然环境因素 |
| 3.2.2 时间季节因素 |
| 3.2.3 需求因素 |
| 3.2.4 社会经济发展因素 |
| 3.3 提高水库群优化调度需要解决的主要理论问题 |
| 3.3.1 存在的问题 |
| 3.3.2 本文解决的主要理论问题 |
| 3.4 小结 |
| 第4章 基于梯级水库群多目标粒子群优化算法的构建 |
| 4.1 多目标粒子群优化算法 |
| 4.1.1 粒子群优化算法的数学模型 |
| 4.1.2 粒子群优化算法步骤 |
| 4.2 改进的多目标粒子群优化算法MQPSO |
| 4.2.1 MQPSO算法的提出 |
| 4.2.2 基于MQPSO算法的基本流程 |
| 4.3 改进的MQPS0算法与其他优化算法的对比 |
| 4.3.1 测试函数 |
| 4.3.2 指标评价 |
| 4.3.3 算法对比 |
| 4.4 算例分析 |
| 4.5 算例验证 |
| 4.5.1 问题的提出 |
| 4.5.2 系统参数及结果分析 |
| 4.6 小结 |
| 第5章 考虑水量的梯级水库群多目标优化调度研究 |
| 5.1 梯级水库群供水优化调度模型的构建思路 |
| 5.2 梯级水库群供水优化调度的数学模型 |
| 5.2.1 目标函数 |
| 5.2.2 约束条件 |
| 5.3 实例应用 |
| 5.3.1 流域概况 |
| 5.3.2 水库资料分析 |
| 5.3.3 流域分区及概化图 |
| 5.3.4 流域主要水库现状及供需水分析 |
| 5.3.5 基于MQPSO算法的结果与分析 |
| 5.5 小结 |
| 第6章 考虑水质的梯级水库群多目标优化调度研究 |
| 6.1 梯级水库群水质分析及评价 |
| 6.1.1 背景概述 |
| 6.1.2 理论与方法 |
| 6.2 考虑水质的水量调控模型 |
| 6.2.1 目标函数 |
| 6.2.2 约束条件 |
| 6.3 Copula函数 |
| 6.4 考虑水质的梯级水库群联合调度模型 |
| 6.4.1 污染指标 |
| 6.4.2 改善水质的水量计算 |
| 6.4.3 计算模型 |
| 6.5 实例应用 |
| 6.5.1 目标函数 |
| 6.5.2 约束条件 |
| 6.5.3 基于MQPSO算法的结果与分析 |
| 6.6 小结 |
| 第七章 考虑丰水期发电的梯级水库群多目标优化调度研究 |
| 7.1 梯级水库群水力发电的概况 |
| 7.2 梯级水库群水利发电的背景与方法 |
| 7.3 梯级水库群丰、枯水期的确定 |
| 7.4 考虑丰水期发电的梯级水库群优化调度模型及算法 |
| 7.4.1 目标函数 |
| 7.4.2 约束条件 |
| 7.5 实例应用 |
| 7.5.1 洪汝河流域水文年划分 |
| 7.5.2 基于MQPSO算法的结果与分析 |
| 7.6 小结 |
| 第8章 研究成果与结论 |
| 8.1 成果与结论 |
| 8.2 展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读博士学位期间发表的论文 |
| 攻读博士学位期间主持和参加的科研项目 |
（8）具有特殊块结构线性系统的数值算法研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 常用符号表 |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 研究背景和意义 |
| 1.2 问题的应用背景及研究现状 |
| 1.2.1 鞍点问题的应用背景及研究现状 |
| 1.2.2 复线性系统的应用背景及研究现状 |
| 1.2.3 块 2 × 2 线性系统的应用背景及研究现状 |
| 1.3 本文的研究内容、方法与创新点 |
| 第2章 鞍点问题的SSOR和Uzawa变形迭代解法及预处理子 |
| 2.1 非奇异鞍点问题的SSOR变形迭代法 |
| 2.1.1 ASSOR方法的构造 |
| 2.1.2 ASSOR方法的收敛性 |
| 2.1.3 数值实验 |
| 2.2 非Hermitian鞍点问题的Uzawa变形迭代法及预处理子 |
| 2.2.1 Uzawa-PPS方法的构造 |
| 2.2.2 Uzawa-PPS方法的收敛性 |
| 2.2.3 预处理矩阵的谱性质 |
| 2.2.4 数值实验 |
| 第3章 非奇异复线性系统的Euler外推迭代解法及预处理子 |
| 3.1 Euler外推HS迭代法及预处理子 |
| 3.1.1 E-HS方法的收敛性及预处理矩阵的谱性质 |
| 3.1.2 数值实验 |
| 3.2 正则化Euler外推HS迭代法及预处理子 |
| 3.2.1 RE-HS方法的收敛性及预处理矩阵的谱性质 |
| 3.2.2 数值实验 |
| 3.3 交替Euler外推HS迭代法及预处理子 |
| 3.3.1 AE-HS方法的收敛性及预处理矩阵的谱性质 |
| 3.3.2 数值实验 |
| 第4章 奇异复对称线性系统的单步迭代解法及预处理子 |
| 4.1 参数化的单步HSS迭代法及预处理子 |
| 4.1.1 P-SHSS方法的半收敛性及预处理矩阵的谱性质 |
| 4.1.2 数值实验 |
| 4.2 正则化的E-HS迭代法及预处理子 |
| 4.2.1 RE-HS方法的半收敛性及预处理矩阵的谱性质 |
| 4.2.2 数值实验 |
| 第5章 块 2 × 2 线性系统的Givens外推迭代解法及预处理子 |
| 5.1 Givens外推块分裂迭代法及预处理子 |
| 5.1.1 块分裂迭代方法的构造 |
| 5.1.2 收敛性分析 |
| 5.1.3 预处理矩阵的谱性质 |
| 5.1.4 数值实验 |
| 5.2 非精确Givens外推块分裂预处理子 |
| 5.2.1 预处理矩阵的谱性质 |
| 5.2.2 数值实验 |
| 5.3 Givens外推SSOR迭代法 |
| 5.3.1 G-SSOR方法的收敛性 |
| 5.3.2 数值实验 |
| 第6章 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 攻读学位期间承担的科研任务与主要成果 |
| 致谢 |
| 个人简历 |
（9）关于几类非线性矩阵方程正定解的研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 符号对照表 |
| 第一章 序言 |
| 1.1 研究背景及意义 |
| 1.2 研究进展与现状 |
| 1.3 预备知识 |
| 1.4 内容安排 |
| 第二章 矩阵方程X-A~*X~(-1)A=Q的正定解 |
| 2.1 引言与预备知识 |
| 2.2 非线性矩阵方程X-A~*X~(-1)A=I的正定解 |
| 2.3 X-A~*X~-1A=I唯一正定解的新算法 |
| 2.4 数值例子 |
| 第三章 方程X-∑~m_(i=1)A~*_iX~(-1)A_i=Q正定解的扰动分析 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 扰动上界 |
| 3.3 条件数 |
| 3.4 数值例子 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 正定解 |
| 4.3 X_L的扰动估计 |
| 4.4 数值例子 |
| 第五章 方程X+∑_(i=1)~mA_i~*X~(-q)A_i-∑_(j=1)~nB_j~*X~(-r)B_j=Q的正定解 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 方程X+∑_(i=1)~mA_i~*X~(-1)A_i-∑_(j=1)~nB_j~*X~(-r)B_j=Q的正定解 |
| 5.3 方程X+∑_(i=1)~mA_i~*X~(-q)A_i-∑_(j=1)~nB_j~*X~(-r)B_j=Q的正定解 |
| 第六章 结束语 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 作者简介 |
（10）几类随机微分方程与偏微分方程数值解法研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 引言 |
| 1.1 随机微分方程研究现状 |
| 1.2 偏微分方程研究现状 |
| 1.3 本文主要研究内容 |
| 第二章 求解随机微分方程改进的Euler方法的收敛性 |
| 2.1 引言 |
| 2.1.1 随机微分方程及性质 |
| 2.1.2 相关定义及引理 |
| 2.2 改进的Euler方法 |
| 2.2.1 方法的定义 |
| 2.2.2 方法收敛性分析 |
| 2.3 数值实验 |
| 2.3.1 方法中参数α,θ的选取 |
| 2.3.2 实例分析 |
| 2.4 小结 |
| 第三章 求解一类正则长波方程的重心插值配点法 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 数值方法迭代格式 |
| 3.2.1 直接线性化迭代 |
| 3.2.2 Newton-Raphson迭代 |
| 3.3 重心插值配点法 |
| 3.4 数值算例 |
| 3.5 小结 |
| 第四章 Newton-Raphson迭代法求解几类KdV方程 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 KdV方程的重心插值公式 |
| 4.2.1 MKdV方程重心插值公式 |
| 4.2.2 GIKdV方程重心插值公式 |
| 4.2.3 KdV-mKdV方程重心插值公式 |
| 4.3 数值算例 |
| 4.4 小结 |
| 第五章 直接线性化迭代法求解耦合KdV方程及收敛性 |
| 5.1 方程及相关性质 |
| 5.2 数值方法简介 |
| 5.2.1 直接线性化迭代方法 |
| 5.2.2 微分矩阵 |
| 5.2.3 耦合KdV方程的重心插值公式 |
| 5.3 收敛性分析 |
| 5.4 数值实验 |
| 5.5 小结 |
| 第六章 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 附录 |
| 攻读学位期间发表的学术论文及取得的科研成果 |
四、几类非线性二元算子方程的迭代解法及其应用（论文参考文献）
- [1]几类分数阶偏微分方程快速解法及应用[D]. 张旻. 兰州大学, 2021
- [2]基于随机特征近似的正倒向随机微分方程数值解法研究[D]. 刘颖. 山东大学, 2021(11)
- [3]可重构的微分方程通用解算器研究和实现[D]. 魏可. 合肥工业大学, 2021
- [4]时间/时空分数阶偏微分方程求解的快速算法研究[D]. 赵永良. 电子科技大学, 2021(01)
- [5]几类偏微分方程的谱方法研究[D]. 于哲. 哈尔滨工业大学, 2021(02)
- [6]复对称问题、线性互补问题和线性离散不适定问题的四种数值解法研究[D]. 张维红. 兰州大学, 2020(04)
- [7]梯级水库群多目标优化调度研究[D]. 乔英. 华北电力大学(北京), 2020(06)
- [8]具有特殊块结构线性系统的数值算法研究[D]. 李成梁. 福建师范大学, 2020(12)
- [9]关于几类非线性矩阵方程正定解的研究[D]. 房亮. 西安电子科技大学, 2020(05)
- [10]几类随机微分方程与偏微分方程数值解法研究[D]. 谢晓波. 内蒙古工业大学, 2020(02)